LIMIT

sifat limit fungsi aljabar ditentukan jika n adalah bilangan bulat positif, kkonstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di c, maka selanjutnya berlaku teorema-teorema berikut:

Oke, jadi itu beberapa sifat-sifat limit fungsi dalam materi limit Matematika kelas 11 yang perlu dan penting banget untuk elo pahami. 

Selanjutnya, gue akan menjelaskan mengenai cara mencari nilai limit fungsi.

Mencari Nilai Limit Fungsi

Setelah mengetahui apa saja sifat dari limit, selanjutnya dalam materi limit Matematika, ada cara mencari nilai limit fungsi yang bisa dilakukan menggunakan 3 metode, yaitu metode substitusi, pemfaktoran, dan mengalikan dengan faktor sekawan. 

Berikut gue jelaskan dengan lebih lanjut mengenai ketiga metode tersebut lengkap dengan contoh soal limit fungsi aljabar dan pembahasannya. 

Metode Substitusi

Metode substitusi merupakan cara yang paling dasar untuk mencari nilai limit. Metode ini dilakukan dengan mensubstitusi langsung nilai kedalam fungsi f(x).

Contoh Soal:

Metode Pemfaktoran

Jika pada metode substitusi menghasilkan suatu nilai bentuk tak tentu seperti:

maka fungsi tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu, kemudian baru bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

Metode Mengalikan dengan Faktor Sekawan

Jika pada metode substitusi menghasilkan nilai limit yang irasional, maka fungsi dikalikan dengan akar sekawannya, kemudian bisa disubstitusikan.

Contoh Soal:

l

$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{2x^2-7x+3}=\cdots$ 
$\begin{array}{cc}\left(A\right)& \frac{1}{2}\\ \left(B\right)& \frac{5}{6}\\ \left(C\right)& \frac{6}{7}\\ \left(D\right)& \frac{7}{6}\\ \left(E\right)& \frac{6}{5}\end{array}$

pembahasan:

$\begin{array}{}$ \begin{array}{cc}& \underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{2x^2-7x+3}\\ & =\underset{x\to 3}{lim}\frac{(x+3)(x-3)}{(2x-1)(x-3)}\\ & =\underset{x\to 3}{lim}\frac{(x+3)}{(2x-1)}\\ & =\frac{(3+3)}{\left(2\right(3)-1)}=\frac{6}{5}\end{array}$$ \left(E\right)\frac{6}{5}$\end{array}$

B) Teorima Limit 

Misalkan n bilangan asli, k konstanta, serta f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka:

Teorema 1 (T.1) : limx→ck=k

Nilai limit suatu fungsi konstan sama dengan konstanta itu.

Teorema 2 (T.2) : limx→cx=c

Nilai limit suatu fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan peubahnya.

Teorema 3 (T.3) : limx→ckf(x)=klimx→cf(x)

Limit hasil kali konstanta dengan fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi itu.

Teorema 4 (T.4) : limx→c(f(x)+g(x))=limx→cf(x)+limx→cg(x)

Limit jumlah fungsi-fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi.

Teorema 5 (T.5) : limx→c(f(x)−g(x))=limx→cf(x)−limx→cg(x)

Limit selisih fungsi-fungsi sama dengan selisih masing-masing limit fungsi.

Teorema 6 (T.6) : limx→c(f(x)g(x))=limx→cf(x).limx→cg(x)

Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi.

Teorema 7 (T.7) : limx→cf(x)g(x)=limx→cf(x)limx→cg(x), syaratnya g (x) ≠ 0

Limit hasil bagi fungsi-fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limit fungsi dengan syarat limit penyebut tidak sama dengan nol.

Teorema 8 (T.8) : limx→c[f(x)]n=[limx→cf(x)]n$\underset{}{l}$

Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu.

Teorema 9 (T.9) : limx→cf(x)−−−−√n=limx→cf(x)−−−−−−−√n

Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi itu dengan syarat limit fungsi tersebut tidak negatif untuk n bilangan genap.

Contoh Soal:

Hitung limit berikut dengan menggunakan teorema dasar limit !

a.  ${}_{x\to 3}^{lim}$ (2x + 3)
     Jawab :
     ${}_{x\to 3}^{lim}$ (2x + 3) = ${}_{x\to 3}^{lim}$ 2x  +  ${}_{x\to 3}^{lim}$ 3   (teorema A.4)
     ${}_{x\to 3}^{lim}$ (2x + 3) = 2 ${}_{x\to 3}^{lim}$ x  +  3   (A.3 dan A.1)
     ${}_{x\to 3}^{lim}$ (2x + 3) = 2 . 3  +  3   (A.2)
     ${}_{x\to 3}^{lim}$ (2x + 3) = 9

b.  ${}_{x\to 5}^{lim}\sqrt{x^2-16}$
     Jawab :
     ${}_{x\to 5}^{lim}\sqrt{x^2-16}$ = $\sqrt{{}_{x\to 5}^{lim}(x^2-16)}$   (A.9)
     ${}_{x\to 5}^{lim}\sqrt{x^2-16}$ = $\sqrt{{}_{x\to 5}^{lim}{x}^2-{}_{x\to 5}^{lim}16}$   (A.5)

     ${}_{x\to 5}^{lim}\sqrt{x^2-16}$ = $\sqrt{{\left[{}_{x\to 5}^{lim}x\right]}^2-16}$   (A.8 dan A.1)

     ${}_{x\to 5}^{lim}\sqrt{x^2-16}$ = $\sqrt{5^2-16}$   (A.2)

     ${}_{x\to 5}^{lim}\sqrt{x^2-16}$ = 3