SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-LINEAR DAN BEBERAPA CONTOH SOAL
Nama: Putri Meidina Sinuraya
Kelas: X IPS 1
No. Absen: 22
Sistem Persamaan Linear Kuadrat
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) disusun oleh sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. SPLK terdiri dari 2 jenis, yaitu SPLK Eksplisit dan SPLK Impilsit.
Suatu persamaan dua variabel xx dan yy dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y=f(x)y=f(x) atau x=f(y)x=f(y).
Contoh:
x=2y−1 →x=f(y)=2y+1x=2y−1 →x=f(y)=2y+1
y=3x+1 →y=f(x)=3x+1y=3x+1 →y=f(x)=3x+1
y=x2+5x+6 →y=f(x)=x2+5x+6y=x2+5x+6 →y=f(x)=x2+5x+6
x=y2+2y+1 →x=f(y)=y2+2y+1x=y2+2y+1 →x=f(y)=y2+2y+1Suatu persamaan dua variabel xx dan yy dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y=f(x)y=f(x) atau x=f(y)x=f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x,y)f(x,y)
Contoh:
x2+y2−25=0x2+y2−25=0
x2+y2−6x+8y+10=0x2+y2−6x+8y+10=0
x2+2xy+y28y+10=0x2+2xy+y28y+10=0Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Kuadrat Implisit, yaitu:
y =mx+n ⋯bagian lineary =ax2+bx+c ⋯bagian kuadraty =mx+n ⋯bagian lineary =ax2+bx+c ⋯bagian kuadrat
dimana m,n,a,b,cm,n,a,b,c adalah bilangan real dan a≠0a≠0. Untuk bagian linear gambarnya berupa garis dan bagian kuadrat gambarnya berupa parabola.
Untuk menyelesaikan SPLK implisit dapat dilakukan dengan mensubstitusi kedua persamaan di atas menjadi:
y=yax2+bx+c=mx+nax2+(b−m)x+c−n=0y=yax2+bx+c=mx+nax2+(b−m)x+c−n=0
Persamaan kuadrat ax2+(b−m)x+c−n=0ax2+(b−m)x+c−n=0 umumnya disebut dengan persamaan kuadrat persekutuan. Dari persamaan kuadrat persekutuan dapat kita tentukan nilai x1x1 dan x2x2 lalu disubstitsi ke salah satu persamaan sehingga kita akan dapatkan nilai y1y1 dan y2y2.
Himpunan penyelesaian sistem persamaan adalah {(x1,y1), (x2,y2)}{(x1,y1), (x2,y2)}.
Seperti jenis akar-akar persamaan kuadrat, dari ax2+(b−m)x+c−n=0ax2+(b−m)x+c−n=0 ada beberapa hal yang dapat kita tuliskan yaitu:
Jika D>0D>0 maka garis dan parabola berpotongan di dua titik atau mempunyai dua himpunan penyelesaian
Jika D=0D=0 maka garis dan parabola bersinggungan atau mempunyai satu himpunan penyelesaian
Jika D<0D<0 maka garis dan parabola tidak berpotongan dan tidak bersinggungan atau tidak mempunyai himpunan penyelesaian
Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPLK) disusun dua buah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. Bentuk umum Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK) adalah:
y =px2+qx+r, p≠0 parabolay =ax2+bx+c, a≠0 parabolay =px2+qx+r, p≠0 parabolay =ax2+bx+c, a≠0 parabola
dimana p,q,r,a,b,cp,q,r,a,b,c adalah bilangan real dan p,a≠0p,a≠0.
Untuk menyelesaikan SPKK dapat dilakukan dengan mensubstitusi kedua persamaan di atas menjadi:
y=yax2+bx+c=px2+qx+r(a−p)x2+(b−q)x+c−r=0y=yax2+bx+c=px2+qx+r(a−p)x2+(b−q)x+c−r=0
Jika a−p≠0a−p≠0 maka diperolah persamaan kuadrat (a−p)x2+(b−q)x+c−r=0(a−p)x2+(b−q)x+c−r=0, ini umumnya disebut dengan persamaan kuadrat persekutuan. Dari persamaan kuadrat persekutuan dapat kita tentukan nilai x1x1 dan x2x2 lalu disubstitsi ke salah satu persamaan sehingga kita akan dapatkan nilai y1y1 dan y2y2.
Himpunan penyelesaiannya adalah {(x1,y1), (x2,y2)}{(x1,y1), (x2,y2)}.
Seperti jenis akar-akar persamaan kuadrat, dari (a−p)x2+(b−q)x+c−r=0(a−p)x2+(b−q)x+c−r=0 ada beberapa hal yang dapat kita tuliskan yaitu:
Jika D>0D>0 maka kedua parabola berpotongan di dua titik atau mempunyai dua himpunan penyelesaian
Jika D=0D=0 maka kedua parabola bersinggungan atau mempunyai satu himpunan penyelesaian
Jika D<0D<0 maka kedua parabola tidak berpotongan dan tidak bersinggungan atau tidak mempunyai himpunan penyelesaian
Contoh Soal:
1. Persamaan dari (x1,y1),(x2,y2)}{(x1,y1),(x2,y2)}
{x−y=1x2−6x−y+5=0{x−y=1x2−6x−y+5=0N
Nilai x1+x2=⋯x1+x2=⋯
Langkah pertama kita subsitusi nilai yy pada persamaan linear dan yy persamaan kuadrat, dapat kita tuliskan:
y=yx2−6x+5=x−1x2−6x−x+5+1=0x2−7x+6=0(x−6)(x−1)=0x=6 atau x=1y=yx2−6x+5=x−1x2−6x−x+5+1=0x2−7x+6=0(x−6)(x−1)=0x=6 atau x=1
Yang ditanyakan pada soal adalah x1+x2=1+6=7x1+x2=1+6=7
untuk x=1x=1 maka y=x−1=0y=x−1=0 kita peroleh titik poto
ng (1,0)(1,0)
untuk x=6x=6 maka y=x−1=5y=x−1=5 kita peroleh titik potong (6,5)(6,5)
Himpunan Penyelesaian adalah {(1,0), (6,5)}{(1,0), (6,5)}
2. Garis gg melalui titik (0,1)(0,1) dan menyinggung parabola y=4x−x2y=4x−x2. Jika titik singgungnya terletak di kaudran pertama, maka gradien garis gg adalah...
Jawab:
Karena garis y=mx+1y=mx+1 menyinggung y=4x−x2y=4x−x2 sehingga berlaku:
mx+1=4x−x2x2−4x+mx+1=0x2+(m−4)x+1=0D=0b2−4ac=0(m−4)2−4(1)(1)=0m2−8m+16−4=0m2−8m+12=0(m−6)(m−2)=0m=6m=2mx+1=4x−x2x2−4x+mx+1=0x2+(m−4)x+1=0D=0b2−4ac=0(m−4)2−4(1)(1)=0m2−8m+16−4=0m2−8m+12=0(m−6)(m−2)=0m=6m=2
Garis singgung kurva y=4x−x2y=4x−x2 yang melalui titik (0,1)(0,1) adalah y=6x+1y=6x+1 dan y=2x+1y=2x+1.
Karena titik singgungnya di kuadran pertama untuk nilai m=6m=6 atau m=2m=2 maka gradien m=y′=4−2xm=y′=4−2x dihasilkan oleh xx positif.
m=y′m=y′6=4−2x2=4−2x6−4=−2x2−4=−2x2=−2x−2=−2xx=−1x=1m=y′m=y′6=4−2x2=4−2x6−4=−2x2−4=−2x2=−2x−2=−2xx=−1x=1
Kelas: X IPS 1
No. Absen: 22
Sistem Persamaan Linear Kuadrat
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) disusun oleh sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. SPLK terdiri dari 2 jenis, yaitu SPLK Eksplisit dan SPLK Impilsit.
Suatu persamaan dua variabel xx dan yy dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk y=f(x)y=f(x) atau x=f(y)x=f(y).
Contoh:
x=2y−1 →x=f(y)=2y+1x=2y−1 →x=f(y)=2y+1
y=3x+1 →y=f(x)=3x+1y=3x+1 →y=f(x)=3x+1
y=x2+5x+6 →y=f(x)=x2+5x+6y=x2+5x+6 →y=f(x)=x2+5x+6
x=y2+2y+1 →x=f(y)=y2+2y+1x=y2+2y+1 →x=f(y)=y2+2y+1Suatu persamaan dua variabel xx dan yy dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y=f(x)y=f(x) atau x=f(y)x=f(y). Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk f(x,y)f(x,y)
Contoh:
x2+y2−25=0x2+y2−25=0
x2+y2−6x+8y+10=0x2+y2−6x+8y+10=0
x2+2xy+y28y+10=0x2+2xy+y28y+10=0Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Kuadrat Implisit, yaitu:
y =mx+n ⋯bagian lineary =ax2+bx+c ⋯bagian kuadraty =mx+n ⋯bagian lineary =ax2+bx+c ⋯bagian kuadrat
dimana m,n,a,b,cm,n,a,b,c adalah bilangan real dan a≠0a≠0. Untuk bagian linear gambarnya berupa garis dan bagian kuadrat gambarnya berupa parabola.
Untuk menyelesaikan SPLK implisit dapat dilakukan dengan mensubstitusi kedua persamaan di atas menjadi:
y=yax2+bx+c=mx+nax2+(b−m)x+c−n=0y=yax2+bx+c=mx+nax2+(b−m)x+c−n=0
Persamaan kuadrat ax2+(b−m)x+c−n=0ax2+(b−m)x+c−n=0 umumnya disebut dengan persamaan kuadrat persekutuan. Dari persamaan kuadrat persekutuan dapat kita tentukan nilai x1x1 dan x2x2 lalu disubstitsi ke salah satu persamaan sehingga kita akan dapatkan nilai y1y1 dan y2y2.
Himpunan penyelesaian sistem persamaan adalah {(x1,y1), (x2,y2)}{(x1,y1), (x2,y2)}.
Seperti jenis akar-akar persamaan kuadrat, dari ax2+(b−m)x+c−n=0ax2+(b−m)x+c−n=0 ada beberapa hal yang dapat kita tuliskan yaitu:
Jika D>0D>0 maka garis dan parabola berpotongan di dua titik atau mempunyai dua himpunan penyelesaian
Jika D=0D=0 maka garis dan parabola bersinggungan atau mempunyai satu himpunan penyelesaian
Jika D<0D<0 maka garis dan parabola tidak berpotongan dan tidak bersinggungan atau tidak mempunyai himpunan penyelesaian
Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPLK) disusun dua buah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. Bentuk umum Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat (SPKK) adalah:
y =px2+qx+r, p≠0 parabolay =ax2+bx+c, a≠0 parabolay =px2+qx+r, p≠0 parabolay =ax2+bx+c, a≠0 parabola
dimana p,q,r,a,b,cp,q,r,a,b,c adalah bilangan real dan p,a≠0p,a≠0.
Untuk menyelesaikan SPKK dapat dilakukan dengan mensubstitusi kedua persamaan di atas menjadi:
y=yax2+bx+c=px2+qx+r(a−p)x2+(b−q)x+c−r=0y=yax2+bx+c=px2+qx+r(a−p)x2+(b−q)x+c−r=0
Jika a−p≠0a−p≠0 maka diperolah persamaan kuadrat (a−p)x2+(b−q)x+c−r=0(a−p)x2+(b−q)x+c−r=0, ini umumnya disebut dengan persamaan kuadrat persekutuan. Dari persamaan kuadrat persekutuan dapat kita tentukan nilai x1x1 dan x2x2 lalu disubstitsi ke salah satu persamaan sehingga kita akan dapatkan nilai y1y1 dan y2y2.
Himpunan penyelesaiannya adalah {(x1,y1), (x2,y2)}{(x1,y1), (x2,y2)}.
Seperti jenis akar-akar persamaan kuadrat, dari (a−p)x2+(b−q)x+c−r=0(a−p)x2+(b−q)x+c−r=0 ada beberapa hal yang dapat kita tuliskan yaitu:
Jika D>0D>0 maka kedua parabola berpotongan di dua titik atau mempunyai dua himpunan penyelesaian
Jika D=0D=0 maka kedua parabola bersinggungan atau mempunyai satu himpunan penyelesaian
Jika D<0D<0 maka kedua parabola tidak berpotongan dan tidak bersinggungan atau tidak mempunyai himpunan penyelesaian
Contoh Soal:
1. Persamaan dari (x1,y1),(x2,y2)}{(x1,y1),(x2,y2)}
{x−y=1x2−6x−y+5=0{x−y=1x2−6x−y+5=0N
Nilai x1+x2=⋯x1+x2=⋯
Langkah pertama kita subsitusi nilai yy pada persamaan linear dan yy persamaan kuadrat, dapat kita tuliskan:
y=yx2−6x+5=x−1x2−6x−x+5+1=0x2−7x+6=0(x−6)(x−1)=0x=6 atau x=1y=yx2−6x+5=x−1x2−6x−x+5+1=0x2−7x+6=0(x−6)(x−1)=0x=6 atau x=1
Yang ditanyakan pada soal adalah x1+x2=1+6=7x1+x2=1+6=7
untuk x=1x=1 maka y=x−1=0y=x−1=0 kita peroleh titik poto
ng (1,0)(1,0)
untuk x=6x=6 maka y=x−1=5y=x−1=5 kita peroleh titik potong (6,5)(6,5)
Himpunan Penyelesaian adalah {(1,0), (6,5)}{(1,0), (6,5)}
2. Garis gg melalui titik (0,1)(0,1) dan menyinggung parabola y=4x−x2y=4x−x2. Jika titik singgungnya terletak di kaudran pertama, maka gradien garis gg adalah...
Jawab:
Karena garis y=mx+1y=mx+1 menyinggung y=4x−x2y=4x−x2 sehingga berlaku:
mx+1=4x−x2x2−4x+mx+1=0x2+(m−4)x+1=0D=0b2−4ac=0(m−4)2−4(1)(1)=0m2−8m+16−4=0m2−8m+12=0(m−6)(m−2)=0m=6m=2mx+1=4x−x2x2−4x+mx+1=0x2+(m−4)x+1=0D=0b2−4ac=0(m−4)2−4(1)(1)=0m2−8m+16−4=0m2−8m+12=0(m−6)(m−2)=0m=6m=2
Garis singgung kurva y=4x−x2y=4x−x2 yang melalui titik (0,1)(0,1) adalah y=6x+1y=6x+1 dan y=2x+1y=2x+1.
Karena titik singgungnya di kuadran pertama untuk nilai m=6m=6 atau m=2m=2 maka gradien m=y′=4−2xm=y′=4−2x dihasilkan oleh xx positif.
m=y′m=y′6=4−2x2=4−2x6−4=−2x2−4=−2x2=−2x−2=−2xx=−1x=1m=y′m=y′6=4−2x2=4−2x6−4=−2x2−4=−2x2=−2x−2=−2xx=−1x=1
