Langsung ke konten utama

DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

-
Pengertian Determinan Matriks
Determinan Matriks dan Invers Matriks serta  Contoh Soal dan Pembahasan. Determinan adalah sebuah nilai yang berkaitan dengan matriks persegi atau matriks bujur sangkar. Determinan matriks persegi sangat diperlukan sebagai dasar untuk menghitung invers dari matriks tersebut dan aplikasi matriks seperti dalam menyelesaikan masalah kontekstual misalnya mencari penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel atau sistem persamaan linier tiga variabel. Nilai determinan suatu matriks persegi dapat diperoleh dengan cara tertentu, tergantung dari ordo setiap matriks. Determinan dari suatu matriks A dinotasikan denagan det.A atau |A|. Jika sebuah matriks memiliki determinan yang nilainya 0, maka matriks tersebut disebut matriks singular. Jadi, jika |A| = 0, maka matriks A adalah matriks singular. Determinan matriks yang akan kita bahas disini adalah determinan matriks persegi berordo 1 x 1, 2 x2, dan 3 x 3 saja.

Determinan Matriks

Pada Aljabar, determinan matriks dapat diartikan sebagai nilai yang mewakili sebuah matriks bujur sangkar. Simbol nilai determinan matriks A biasanya dinyatakan sebagai det(A) atau | A |. Cara menghitung determinan matriks tergantung ukuran matriks bujur sangkar tersebut. Cara menghitung nilai determinan dengan ordo 3 akan berbeda dengan cara menghitung matriks bujur sangkar dengan ordo 2. Untuk lebih jelasnya, perhatikan cara menghitung determinan di bawah.


Cara Menentukan Determinan Matriks, Invers, dan Sifat-sifatnya

Cara menentukan determinan matriks dilakukan pada matriks persegi, yaitu matriks dengan banyak kolom sama dengan banyak baris. Invers matriks merupakan matriks kebalikan sehingga perkalian suatu matriks dengan inversnya akan menghasilkan matriks identitas. Matriks identitas atau matrik satuan adalah matriks persegi yang memiliki nilai elemen-elemen pada diagonal diagonal utama sama dengan 1, selain itu nilai elemen-elemennya adalah 0.

Perkalian Matriks dan Inversnya Sama dengan Matriks Identitas

Determinan Matriks

Pada Aljabar, determinan matriks dapat diartikan sebagai nilai yang mewakili sebuah matriks bujur sangkar. Simbol nilai determinan matriks A biasanya dinyatakan sebagai det(A) atau | A |. Cara menghitung determinan matriks tergantung ukuran matriks bujur sangkar tersebut. Cara menghitung nilai determinan dengan ordo 3 akan berbeda dengan cara menghitung matriks bujur sangkar dengan ordo 2. Untuk lebih jelasnya, perhatikan cara menghitung determinan di bawah.

Determinan Matriks Ordo 2 x 2

Seperti yang sobat idschool sudah ketahui, matriks ordo 2 dinyatakan dalam bentuk matriks dengan jumlah kolom dan baris sama dengan dua. Nilai determinan A disimbolkan dengan | A |, cara menghitung nilai determinan A dapat dilihat seperti pada cara di bawah.

determinan matriks A

 
Soal: Tentukan nilai determinan matriks berikut.

Pembahasan:

determinan matriks A:
| A | = ad – bc
= 3 × 5 – 1 × 2
= 15 – 2
= 13

Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Matriks Ordo 3 adalah matriks persegi dengan banyaknya kolom dan baris sama dengan tiga. Misalnya pada matriks A, elemen-elemen pada baris pertama adalah a b c, baris kedua adalah d e f, dan baris ketiga adalah g h i. Cara menghitung determinan pada matriks dengan ordo tiga biasa disebut dengan Aturan Sarrus seperti terlihat pada gambar di bawah.

determinan matriks

 
Contoh perhitungan determinan pada matriks ordo 3:

Maka determinan matriks A adalah,


Invers Matriks

Simbol matriks dinyatakan dengan tanda pangkat negatif 1 (–1). Invers matriks dapat diartikan sebagai kebalikan dari suatu matriks tertentu. Jika suatu matriks bujur sangkar A dikalikan terhadap inversnya yaitu matriks bujur sangkar A–1 maka menghasilkan matriks I (matriks identitas pada operasi perkalian matriks). Cara mencari invers matriks untuk ordo 2 x 2 dan invers matriks ordo 3 x 3 diberikan seperti berikut.

Invers Matriks Ordo 2 x 2

Invers dari suatu matriks A dengan ukuran 2 x 2, elemen pada baris pertama adalah a, b dan elemen pada baris kedua adalah c, d dinyatakan dalam rumus di bawah.

Invers Matriks

Contoh menentukan invers matriks A dapat dilihat seperti langkah-langkah berikut.

Diketahui matriks A:

Tentukan invers dari matrik A!

Penyelesaian:


Invers Matriks Ordo 3 x 3

Cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3 lebih rumit dari cara menentukan invers matriks 2 x 2. Sebelum menentukan invers matriks ordo 3 x 3, perlu dipahami terlebih dahulu mengenai matriks minor, kofaktor, dan adjoin. Simak penjelasannya pada uraian di bawah.

Diketahui sebuah matriks A dengan ordo 3 seperti terlihat di bawah.

Matriks Ordo 3

Matriks Minor:
Matriks minor Mij adalah matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A sehingga diperoleh matriks minor berordo 2 seperti persamaan di bawah

Matriks Minor Mij

Matriks-matriks minor di atas digunakan untuk mendapatkan matriks kofaktor A.

Kofaktor:
Kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j disimbolkan dengan Cij dapat ditentukan dengan rumus seperti terlihat di bawah.

Matriks Kofaktor

Kofaktor di atas akan digunakan untuk menentukan adjoin matriks yang akan dicari nilai inversnya.

Adjoin:
Secara umum, sebuah matriks memiliki matriks adjoin seperti ditunjukkan seperti pada matriks di bawah. (Keterangan: Cij adalah kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j).

Matriks Adjoin A

Sehingga, adjoin dari matriks A dinyatakan seperti terlihat pada persamaan di bawah

Cara Menentukan Invers Matriks Ordo 3 x 3:
Bagian terakhir, bagian ini merupakan akhir dari proses mencari invers matriks dengan orde 3 atau lebih. Matriks minor, kofaktor, dan adjoin yang telah kita bahas di atas berguna untuk menentukan nilai invers dari suatu matriks dengan ordo matriks di atas 3 atau lebih.

Secara umum, cara menentukan invers matriks dapat diperoleh melalui persamaan:

A–1 = 1/det(A) · Adj(A)

Agar lebih jelas, akan diberikan contoh soal cara mencari invers matriks berodo 3. Simak langkah-langkah yang diberikan di bawah.

Contoh soal menentukan invers matriks berordo 3 x 3

Tentukan invers matriks B yang diberikan pada persamaan di bawah.

Pembahasan:

Menghitung nilai determinan B:
| B | = 1×3×2 + 2×1×2 + 1×3×1 – 2×3×1 – 1×1×1 – 2×3×2
| B | = 6 + 4 + 3 – 6 – 1 – 12
| B | = -6

Menentukan Kofaktor:
Berikut ini adalah hasil perhitungan nilai-nilai kofaktor untuk matriks B. Silahkan lihat kembali bagaimana cara mendapatkan nilai kofaktor pada rumus yang telah dibahas di atas jika belum hafal rumusnya.

Untuk menentukan invers B, kita membutuhkan matriks adjoin B. Sehingga, kita perlu menentukan matriks adjoin B terlebih dahulu.

Menentukan Adjoin B:
Adjoin dari matriks B, sesuai dengan persamaan di atas akan diperoleh hasil seperti berikut.


Menentukan Invers Matriks 

Sifat-Sifat Matriks

Tidak semua matriks memiliki invers. Matriks yang memiliki invers dinamakan matriks nonsingular atau matriks invertible. Sedangkan matriks yang tidak memiliki invers dinamakan matriks singular. Kriteria matriks yang memiliki invers dapat dilihat pada gambar di bawah.


Contoh Soal:

1. Daridua buah matriks yang diberikan di bawah ini 

soal matriks no 4

Tentukan 2A + B

Jawaban : 

Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan kemudian dilanjutkan dengan penjumlahan:

soal matriks no 4-1

2

. Diketahui matriks A dan B seperti di bawah ini. Jika determinan matriks A = -8, maka determinan matriks B adalah…

soal matriks no 1

Pembahasan :

Determinan A

soal matriks no 1-1

det A = (aei + bfg + cdh) – (ceg + afh + bdi) = -8

Determinan B

soal matriks no 1-2

→ det B = (-12aei + (-12bfg) + (-12cdh)) – (-12ceg + (-12afh) + (-12bdi))

→  det B = -12 {(aei + bfg + cdh) – (ceg + afh + bdi)}

→ det B = -12 det A

→ det B = -12 (-8)

→  det B = 96


Daftar Pustaka:

https://soalkimia.com/contoh-soal-matriks-determinan-dan-invers/

https://idschool.net/sma/cara-menentukan-invers-determinan-matriks-dan-sifat-sifatnya/?amp





Postingan populer dari blog ini

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL

-
Gambar
Nama: Putri Meidina Sinuraya Kelas: X IPS 1 No. Absen: 23 Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional Persamaan rasional didefinisikan sebagai persamaan suatu pecahan dengan satu atau lebih variabel (x) pada pembilang atau penyebutnya. Sedangkan pertidaksamaan rasional adalah persamaan pecahan dengan notasi kurang dari, lebih dari, kurang dari sama dengan dan lebih dari sama dengan. Persamaan Rasional Persamaan rasional adalah pecahan apapun yang melibatkan setidaknya satu persamaan rasional. Seperti persamaan aljabar biasa, persamaan rasional diselesaikan dengan melakukan operasi yang sama terhadap dua sisi persamaan hingga variabelnya dapat dipindahkan ke salah satu sisi persamaan. Dua teknik khusus, perkalian silang dan mencari penyebut terkecil yang sama, adalah cara yang sangat berguna untuk memindahkan variabel dan menyelesaikan persamaan rasional. Contoh soal : Lakukan perkalian silang Buatlah keduanya setara satu sama lain dan sederhanakan untuk membuat persamaan sesederhana m...
Baca selengkapnya

MATRIKS

-
Gambar
  Pengertian dan Jenis-jenis Matriks Nah, sudah disebutkan di awal nih, bahwa matriks adalah susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris atau kolom dengan dibatasi kurung. Bilangan yang tersusun dalam matriks disebut elemen/unsur matriks.  Baris  adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar (horizontal), sedangkan  kolom  adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (vertikal). Ordo matriks adalah banyaknya elemen baris dan banyaknya elemen kolom dari suatu matriks. Jika sebuah matriks memiliki  i  baris dan  j  kolom, maka matriks tersebut berordo i x j, dapat dituliskan Ai.j. Jenis-jenis Vektor Matematika Matriks terbagi menjadi beberapa jenis, diantaranya: 1. Matriks nol, matriks yang seluruh elemennya adalah bilangan nol. 2. Matriks baris, matriks yang hanya memiliki satu baris, berordo 1 x j. 3. Matriks kolom, matriks yang hanya memiliki satu kolom, berordo i x 1. 4. Matriks persegi, matriks yang banyakny...
Baca selengkapnya